Giải bài 4.20 trang 165 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
a) Chứng minh rằng hàm số \(y=\sin x\) không có giới hạn khi \(x\to +\infty.\)
b) Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a)
a) Xét hai dãy số (\(a_n\)) với \(a_n=2n\pi\) và (\(b_n\)) với \({{b}_{n}}=\dfrac{\pi }{2}+2n\pi \,\,\left( n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \right) \)
Ta có:
\(\begin{align} & \lim_{n\to +\infty }\limits\,{{a}_{n}}=\lim_{n\to +\infty }\limits\,2n\pi =+\infty \\ & \lim_{n\to +\infty }\limits\,{{b}_{n}}=\lim_{n\to +\infty }\limits\,\left( \dfrac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\lim_{n\to +\infty }\limits\,n\left( \dfrac{\pi }{2n}+2\pi \right)=+\infty \\ \end{align}\)
\(\begin{align} & \lim_{x\to \infty }\limits\,\sin {{a}_{n}}=\lim_{x\to \infty }\limits\,\sin 2n\pi =0 \\ & \lim_{x\to \infty }\limits\,\sin {{b}_{n}}=\lim_{x\to \infty }\limits\,\left( \dfrac{\pi }{2}+2n\pi \right)=1 \\ \end{align}\)
Như vậy \(a_n\to +\infty, b_n\to +\infty\) nhưng \(\lim \sin a_n\ne \lim \sin b_n.\)
Do đó theo định nghĩa không tồn tại giới hạn của hàm số \(y=\sin x\) khi \(x\to +\infty.\)
b) Đồ thị hàm số \(y=\sin x\)
Từ đồ thị hàm số ta có, hàm số \(y=\sin x \) là tuần hoàn có khoảng giá trị là \([-1;1]\)