Giải bài 4.19 trang 165 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{align}&x^2\,\,\,\text{nếu}\,\,x\ge0\\ &x^2-1\,\,\,\text{nếu}\,\,x<0\\ \end{align}\right.\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(f(x)\). Từ đó dự đoán về giới hạn của \( f(x)\) khi \(x\to 0\)
b) Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.
a) \(f(x)=\left\{\begin{align}&x^2\,\,\,\text{nếu}\,\,x\ge0\\ &x^2-1\,\,\,\text{nếu}\,\,x<0\\ \end{align}\right.\)
Tập xác đinh \(D=\mathbb R\)
+) Vẽ parabol \(y=x^2\). Xóa phần đồ thị của hàm số trên nửa mặt phẳng \(x< 0\) bờ là Oy.
+ Vẽ parabol \(y=x^2-1\). Xóa phần đồ thị của hàm số trên nửa mặt phẳng \(x\ge 0\) bờ là Oy.
Ta được đồ thị của hàm số \(f(x)\)
a) Từ đồ thị hàm số \(f(x)\) dự đoạn: Hàm số \(f(x)\) không có giới hạn khi \(x\to x_0\)
b) HD: Để chứng minh một hàm số không có giới hạn khi \(x\to x_0\), ta thường làm như sau:
Chọn hai dãy số \(a_n\) và \(b_n\) thỏa mãn: \(a_n\) và \(b_n\) thuộc tập xác định của hàm số \(y=f(x)\) và khác \(x_0: a_n\to x_0, b_n\to x_0\)
Chứng minh rằng \(\lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{a}_{n}} \right)\ne \lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{b}_{n}} \right)\) hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại.
Bài giải
Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là \(a_n=\dfrac{1}{n}\) và \(b_n=-\dfrac{1}{n}.\)
Ta có, \(a_n\to 0\) và \(b_n \to 0\) khi \( n\to +\infty.\)
Vì \(\dfrac{1}{n}>0\) nên \(f\left( {{a}_{n}} \right)=\dfrac{1}{{{n}^{2}}} \)
Do đó \(\lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{a}_{n}} \right)=\lim_{n\to +\infty }\limits\,\dfrac{1}{{{n}^{2}}}=0 \)
Vì \(-\dfrac{1}{n}\le 0\) nên \(f\left( {{b}_{n}} \right)=\dfrac{1}{{{n}^{2}}}-1 \)
Do đó \( \lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{b}_{n}} \right)=\lim_{n\to +\infty }\limits\,\left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}}-1 \right)=-1 \)
Do vậy \(f(x)\) không có giới hạn khi \(x\to 0\) .