Giải bài 4.19 trang 165 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a)  $f(x)=\left\{\begin{align}&x^2\,\,\,\text{nếu}\,\,x\ge0\\ &x^2-1\,\,\,\text{nếu}\,\,x<0\\ \end{align}\right.$

Tập xác đinh $D=\mathbb R$

+) Vẽ parabol $y=x^2$. Xóa phần đồ thị của hàm số trên nửa mặt phẳng $x< 0$ bờ là Oy.

+ Vẽ parabol $y=x^2-1$. Xóa phần đồ thị của hàm số trên nửa mặt phẳng $x\ge 0$ bờ là Oy.

Ta được đồ thị của hàm số $f(x)$

a) Từ đồ thị hàm số $f(x)$ dự đoạn: Hàm số $f(x)$ không có giới hạn khi $x\to x_0$

b) HD: Để chứng minh một hàm số không có giới hạn khi $x\to x_0$, ta thường làm như sau:

Chọn hai dãy số $a_n$ và $b_n$ thỏa mãn: $a_n$ và $b_n$ thuộc tập xác định của hàm số $y=f(x)$ và khác $x_0: a_n\to x_0, b_n\to x_0$

Chứng minh rằng $\lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{a}_{n}} \right)\ne \lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{b}_{n}} \right)$ hoặc chứng minh một trong hai giới hạn này không tồn tại.

Bài giải

Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là $a_n=\dfrac{1}{n}$ và $b_n=-\dfrac{1}{n}.$

Ta có, $a_n\to 0$ và $b_n \to 0$ khi $n\to +\infty.$

Vì $\dfrac{1}{n}>0$  nên $f\left( {{a}_{n}} \right)=\dfrac{1}{{{n}^{2}}}$

Do đó $\lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{a}_{n}} \right)=\lim_{n\to +\infty }\limits\,\dfrac{1}{{{n}^{2}}}=0$

Vì $-\dfrac{1}{n}\le 0$  nên $f\left( {{b}_{n}} \right)=\dfrac{1}{{{n}^{2}}}-1$

Do đó $\lim_{n\to +\infty }\limits\,f\left( {{b}_{n}} \right)=\lim_{n\to +\infty }\limits\,\left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}}-1 \right)=-1$

Do vậy $f(x)$ không có giới hạn khi $x\to 0$  .