Giải bài 3.42 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?
Hướng dẫn:
Biểu diễn ba số hạng bởi số hạng thứ hai và công sai của cấp số cộng.
Sử dụng tính chất của cấp số nhân để lập hệ phương trình.
Bài giải
Gọi số hạng thứ hai của cấp số cộng là \(u_2\).
Số hạng thứ 9 của cấp số cộng là \(u_9=u_2+7d.\)
Số hạng thứ 44 của cấp số cộng là \(u_{44}=u_2+42d\)
Vì 3 số hạng lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 217 nên ta có:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{2}}.{{u}_{44}}=u_{9}^{2} \\ & {{u}_{2}}+{{u}_{44}}+{{u}_{9}}=217 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{2}}\left( {{u}_{2}}+42d \right)={{\left( {{u}_{2}}+7d \right)}^{2}} \\ & 3{{u}_{2}}+49d=217 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 42{{u}_{2}}d=14{{u}_{2}}d+49{{d}^{2}} \\ & 3{{u}_{2}}+49d=217 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 4{{u}_{2}}-7d=0 \\ & 3{{u}_{2}}+49d=217 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{2}}=7 \\ & d=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy cấp số cộng có \(u_1=3, d=4\)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{S}_{n}}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}=820 \\ & \Leftrightarrow n\left[ 3.2+\left( n-1 \right).4 \right]=164 \\ & \Leftrightarrow 4{{n}^{2}}+2n-1640=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & n=20 \\ & n=-\frac{41}{2}\,\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy phải lấy 20 số hạng đầu