Giải bài 3.41 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số (\(u_n\)): \(\left\{\begin{align}&u_1=\dfrac 1 3\\&u_{n+1}=\dfrac{(n+1)u_n}{3n}\,\,\,\text{với}\,\,n\ge 1\\ \end{align}\right.\)
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;
b) Lập dãy số (\(v_n\)) với \(v_n=\dfrac{u_n}{n}\);
Chứng minh dãy số (\(v_n\)) là cấp số nhân
c) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)
a)
Năm số hạng đầu của dãy số là \(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{9},\dfrac{1}{9},\dfrac{4}{81},\dfrac{5}{243} \)
b)
Để chứng minh (\(v_n\)) là cấp số nhân ta chỉ ra tỉ số \(\dfrac{{{v}_{n+1}}}{{{v}_{n}}}\) là hằng số
Ta có:
\(\dfrac{{{v}_{n+1}}}{{{v}_{n}}}=\dfrac{{{u}_{n+1}}}{n+1}:\dfrac{{{u}_{n}}}{n}=\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}.\dfrac{n}{n+1}\,\,\left( 1 \right) \)
Mà theo giả thiết ta có:
\(\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}=\dfrac{\left( n+1 \right){{u}_{n}}}{3n} \\ & \Rightarrow \dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{n+1}{3n} \\ \end{aligned} \)
Suy ra \(\dfrac{{{v}_{n+1}}}{{{v}_{n}}}=\dfrac{n+1}{3n}.\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{3} \)
Do đó, (\(v_n\)) là cấp số nhân có \( {{v}_{1}}=\dfrac{1}{3},q=\dfrac{1}{3} \)
c) Để tính \(u_n\) ta viết tích của \(n-1\) tỉ số:
\(\begin{aligned} & \dfrac{{{v}_{n}}}{{{v}_{n-1}}}.\dfrac{{{v}_{n-1}}}{{{v}_{n-2}}}...\dfrac{{{v}_{3}}}{{{v}_{2}}}.\dfrac{{{v}_{2}}}{{{v}_{1}}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}} \\ & \Rightarrow \dfrac{{{v}_{n}}}{{{v}_{1}}}={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}} \\ \end{aligned} \)
Suy ra
\(\begin{aligned} & {{v}_{n}}=\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{n-1}}=\dfrac{1}{{{3}^{n}}} \\ & \Rightarrow \dfrac{{{u}_{n}}}{n}=\dfrac{1}{{{3}^{n}}}\Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{n}{{{3}^{n}}} \\ \end{aligned} \)