Giải bài 3.39 trang 133 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
a)
Với \(n=4\) ta có: \({{3}^{4-1}}=27>4\left( 4+2 \right)=24 \)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n =k\,\,\, (k> 4)\) tức là: \({{3}^{k-1}}>k(k+2) \)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).
Ta có:
\(\begin{align} & {{3}^{(k+1)-1}}={{3}^{k}}={{3.3}^{k-1}}>3k\left( k+2 \right) \\ & =\left( k+1 \right)\left[ \left( k+1 \right)+2 \right]+2{{k}^{2}}+2k-3 \\ \end{align} \)
Vì \(2k^2+2k-3 > 0\) nên \({{3}^{\left( k+1 \right)-1}}>\left( k+1 \right)\left[ (k+1)+2 \right] \)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n
b)
Với \(n=8\) ta có: \({{2}^{8-3}}=32>3.8-1=23 \)
Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n=k \,\,\,(k > 8)\) tức là: \({{2}^{k-3}}>3k-1 \)
Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{2}^{\left( k+1 \right)-3}}={{2.2}^{k-3}} \\ & >2\left( 3k-1 \right) \\ & =6k-2 \\ & =3\left( k+1 \right)-1+3k-4 \\ \end{aligned} \)
Vì \(k > 8\) nên \(3k -4 > 0\)
Do vậy \( {{2}^{(k+1)-3}}\ge 3\left( k+1 \right)-1 \)
Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n