Giải bài 3.38 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) 

Với $n=1$, ta có:

$\dfrac{1.\left( 1+3 \right)}{4.\left( 1+1 \right)\left( 1+2 \right)}=\dfrac{4}{4.2.3}=\dfrac{1}{1.2.3}={{A}_{1}}$

Giả sử đã có:

${{A}_{k}}=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\dfrac{k\left( k+3 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}$

Ta chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$

Ta có:

$\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{A}_{k}}+\dfrac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k\left( k+3 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}+\dfrac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k{{\left( k+3 \right)}^{2}}+4}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k\left( {{k}^{2}}+6k+9 \right)+4}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}\left( k+4 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+4 \right)}{4\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ \end{aligned}$

Vậy đẳng thức đúng với $n=k+1.$

Ta được điều phải chứng minh.

b) 

Với $n=1$ ta có $\dfrac{1\left( 1+1 \right)\left( 1+2 \right)}{6}=1={{B}_{1}}$

Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$, tức là: ${{B}_{k}}=1+3+6+...+\dfrac{k\left( k+1 \right)}{2}=\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{6}$

Ta chứng minh đẳng thức đúng với $n=k+1$, tức là:

${{A}_{k+1}}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)}{6}$

Ta có:

$\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{A}_{k}}+\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{6}+\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)}{6} \\ \end{aligned}$

Vậy khẳng định trên đúng với mọi $n\in \mathbb N^*$

c)

Với $n=1$, ta có:

$\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}{\sin \dfrac{x}{2}}=\sin x={{S}_{1}}$

Giả sử đẳng thức đúng với $n=k$, tức là: ${{S}_{k}}=\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)}{2}x}{\sin \dfrac{x}{2}}$

Ta chứng minh hệ thức đúng với $n=k+1$. Ta có:

$\begin{aligned} & {{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+\sin \left( k+1 \right)x \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}+2\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}\cos \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2} \\ & =\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}+2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{\left( k+1 \right)}{2}x}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ & =\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}-\sin \dfrac{kx}{2}+\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ \end{aligned}$

Vậy khẳng định đúng với mọi $n\in \mathbb N^*$