Giải bài 3.38 trang 132 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Sử dụng phương pháp quy nạp, chứng minh các đẳng thức sau với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
a) \(A_n=\dfrac1{1.2.3}+\dfrac1{2.3.4}+...+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\)
b) \(B_n=1+3+6+10+...+\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{n(n+1)(n+2)} 6\)
c) \(S_n=\sin x +\sin2x+\sin 3x+...+\sin nx=\dfrac{\sin\dfrac{nx}{2}.\sin \dfrac{(n+1)x}{2}}{\sin \dfrac x 2}\)
a)
Với \( n=1\), ta có:
\(\dfrac{1.\left( 1+3 \right)}{4.\left( 1+1 \right)\left( 1+2 \right)}=\dfrac{4}{4.2.3}=\dfrac{1}{1.2.3}={{A}_{1}} \)
Giả sử đã có:
\({{A}_{k}}=\dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\dfrac{k\left( k+3 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \)
Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n=k+1\)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{A}_{k}}+\dfrac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k\left( k+3 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}+\dfrac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k{{\left( k+3 \right)}^{2}}+4}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{k\left( {{k}^{2}}+6k+9 \right)+4}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{{{\left( k+1 \right)}^{2}}\left( k+4 \right)}{4\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+4 \right)}{4\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)} \\ \end{aligned} \)
Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1.\)
Ta được điều phải chứng minh.
b)
Với \(n=1\) ta có \(\dfrac{1\left( 1+1 \right)\left( 1+2 \right)}{6}=1={{B}_{1}} \)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\), tức là: \( {{B}_{k}}=1+3+6+...+\dfrac{k\left( k+1 \right)}{2}=\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{6} \)
Ta chứng minh đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là:
\({{A}_{k+1}}=\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)}{6} \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{A}_{k+1}}={{A}_{k}}+\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2} \\ & =\dfrac{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{6}+\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}{2} \\ & =\dfrac{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)}{6} \\ \end{aligned}\)
Vậy khẳng định trên đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
c)
Với \(n=1\), ta có:
\(\dfrac{\sin \dfrac{x}{2}.\sin x}{\sin \dfrac{x}{2}}=\sin x={{S}_{1}} \)
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\), tức là: \({{S}_{k}}=\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)}{2}x}{\sin \dfrac{x}{2}} \)
Ta chứng minh hệ thức đúng với \(n=k+1\). Ta có:
\(\begin{aligned} & {{S}_{k+1}}={{S}_{k}}+\sin \left( k+1 \right)x \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}.\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}}+2\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}\cos \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2} \\ & =\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}+2\sin \dfrac{x}{2}.\cos \dfrac{\left( k+1 \right)}{2}x}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ & =\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}.\dfrac{\sin \dfrac{kx}{2}-\sin \dfrac{kx}{2}+\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ & =\dfrac{\sin \dfrac{\left( k+1 \right)x}{2}\sin \dfrac{\left( k+2 \right)x}{2}}{\sin \dfrac{x}{2}} \\ \end{aligned}\)
Vậy khẳng định đúng với mọi \(n\in \mathbb N^* \)