Giải bài 3.33 trang 131 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số (\(u_n\)): \(\left\{\begin{align}&u_1=0\\&u_{n+1}=\dfrac{2u_n+3}{u_n+4}\,\,\,\text{với}\,\,n\ge 1\\\end{align}\right.\)
a) Lập dãy số (\(x_n\)) với \(x_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+3}\). Chứng minh rằng dãy số (\(x_n\)) là cấp số nhân.
b) Tìm công thức tính \(x_n, u_n\) theo \(n\)
a)
Để chứng minh \((x_n)\) là cấp số nhân ta chỉ ra tỉ số \(\dfrac{{{x}_{n+1}}}{{{x}_{n}}}\) là hằng số:
Theo giả thiết ta có:
\(\begin{aligned} & {{u}_{n+1}}=\dfrac{2{{u}_{n}}+3}{{{u}_{n}}+4} \\ & \Leftrightarrow {{u}_{n+1}}\left( {{u}_{n}}+4 \right)=2{{u}_{n}}+3 \\ & \Leftrightarrow {{u}_{n+1.}}{{u}_{n}}+4{{u}_{n+1}}=2{{u}_{n}}+3 \\ & \Leftrightarrow {{u}_{n+1}}{{u}_{n}}=2{{u}_{n}}-4{{u}_{n+1}}+3 \\ \end{aligned} \)
Khi đó:
\(\begin{aligned} & \dfrac{{{x}_{n+1}}}{{{x}_{n}}}=\dfrac{{{u}_{n+1}}-1}{{{u}_{n+1}}+3}:\dfrac{{{u}_{n}}-1}{{{u}_{n}}+3}=\dfrac{\left( {{u}_{n+1}}-1 \right)\left( {{u}_{n}}+3 \right)}{\left( {{u}_{n+1}}+3 \right)\left( {{u}_{n}}-1 \right)} \\ & =\dfrac{{{u}_{n+1}}.{{u}_{n}}-{{u}_{n}}+3{{u}_{n+1}}-3}{{{u}_{n+1}}.{{u}_{n}}+3{{u}_{n}}-{{u}_{n+1}}-3} \\ & =\dfrac{2{{u}_{n}}-4{{u}_{n+1}}+3-{{u}_{n}}+3{{u}_{n+1}}-3}{2{{u}_{n}}-4{{u}_{n+1}}+3+3{{u}_{n}}-{{u}_{n+1}}-3} \\ & =\dfrac{{{u}_{n}}-{{u}_{n+1}}}{5{{u}_{n}}-5{{u}_{n+1}}}=\dfrac{1}{5} \\ \end{aligned} \)
Vậy \( (x_n)\) là cấp số nhân với \(x_1=\dfrac{-1}{3}; q=\dfrac{1}{5}\)
Nên \({{x}_{n}}=\left( -\dfrac{1}{3} \right){{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n-1}} \)
Từ giả thiết
\(\begin{aligned} & {{x}_{n}}=\dfrac{{{u}_{n}}-1}{{{u}_{n}}+3}\Rightarrow {{u}_{n}}=\dfrac{3{{x}_{n}}-1}{1-{{x}_{n}}}=\dfrac{3\left( -\dfrac{1}{3} \right){{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}}-1}{1-\left( -\dfrac{1}{3} \right){{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}}} \\ & =\dfrac{-{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}}-1}{1+\dfrac{1}{3}{{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{n}}} \\ \end{aligned} \)