Giải bài 3.27 trang 131 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân ta tính tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.

Nếu tỉ số là một hằng số thì dãy số là cấp số nhân.

Bài giải

a) Ta có:

$\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{\left( -3 \right)}^{2\left( n+1 \right)-1}}}{{{\left( -3 \right)}^{2n-1}}}=\dfrac{{{\left( -3 \right)}^{2n-1}}.{{\left( -3 \right)}^{2}}}{{{\left( -3 \right)}^{2n-1}}}=9$

Do đó: ${{u}_{n+1}}=9{{u}_{n}}$

Nên $u_n$ là cấp số nhân có $u_1=-3, q=9$

Xét hiệu 

$\begin{aligned} & H={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( -3 \right)}^{2n+1}}-{{\left( -3 \right)}^{2n-1}} \\ & ={{9}^{n}}.{{\left( -3 \right)}^{1}}-{{9}^{n}}{{\left( -3 \right)}^{-1}}={{9}^{n}}.\left( -\dfrac{8}{3} \right)<0 \\ \end{aligned}$

Nên dãy số là dãy số giảm

b) Công thức truy hồi của dãy số là $\left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=-3 \\ & {{u}_{n+1}}=9{{u}_{n}}\,\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \\ \end{aligned} \right.$

c)  Giả sử $-19683$  là số hạng thứ $k$ ta có:

$\begin{aligned} & {{u}_{k}}={{u}_{1}}.{{q}^{k-1}}=-19683 \\ & \Leftrightarrow -{{3.9}^{k-1}}=-19683 \\ & \Leftrightarrow {{9}^{k-1}}=6561 \\ & \Leftrightarrow k-1=4 \\ & \Leftrightarrow k=5 \\ \end{aligned}$

Vậy là số hạng thứ năm