Giải bài 3.27 trang 131 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số \((u_n)\) với \(u_n=(-3)^{2n-1}\)
a) Chứng minh dãy số \((u_n)\) là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng giảm của dãy số;
b) Lập công thức truy hồi của dãy số;
c) Hỏi số \(-19683\) là số hạng thứ mấy của dãy số?
Hướng dẫn:
Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân ta tính tỉ số \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\).
Nếu tỉ số là một hằng số thì dãy số là cấp số nhân.
Bài giải
a) Ta có:
\(\dfrac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\dfrac{{{\left( -3 \right)}^{2\left( n+1 \right)-1}}}{{{\left( -3 \right)}^{2n-1}}}=\dfrac{{{\left( -3 \right)}^{2n-1}}.{{\left( -3 \right)}^{2}}}{{{\left( -3 \right)}^{2n-1}}}=9 \)
Do đó: \({{u}_{n+1}}=9{{u}_{n}} \)
Nên \(u_n\) là cấp số nhân có \(u_1=-3, q=9\)
Xét hiệu
\(\begin{aligned} & H={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( -3 \right)}^{2n+1}}-{{\left( -3 \right)}^{2n-1}} \\ & ={{9}^{n}}.{{\left( -3 \right)}^{1}}-{{9}^{n}}{{\left( -3 \right)}^{-1}}={{9}^{n}}.\left( -\dfrac{8}{3} \right)<0 \\ \end{aligned} \)
Nên dãy số là dãy số giảm
b) Công thức truy hồi của dãy số là \( \left\{ \begin{aligned} & {{u}_{1}}=-3 \\ & {{u}_{n+1}}=9{{u}_{n}}\,\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \\ \end{aligned} \right. \)
c) Giả sử \(-19683\) là số hạng thứ \(k\) ta có:
\(\begin{aligned} & {{u}_{k}}={{u}_{1}}.{{q}^{k-1}}=-19683 \\ & \Leftrightarrow -{{3.9}^{k-1}}=-19683 \\ & \Leftrightarrow {{9}^{k-1}}=6561 \\ & \Leftrightarrow k-1=4 \\ & \Leftrightarrow k=5 \\ \end{aligned} \)
Vậy là số hạng thứ năm