Giải bài 3.18 trang 123 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số \((u_{n})\) với \(u_n=1-7n\)
a) Khảo sát tính tăng giảm của dãy số;
b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số;
c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.
Hướng dẫn:
Xét hiệu để khỏa sát tính tăng, giảm của dãy số.
Xác định \(u_1\) và \(d\) rồi viết công thức truy hồi.
Bài giải
a) Xét hiệu
\({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1-7\left( n+1 \right)-1+7n=-7<0 \)
Vậy dãy số là dãy giảm.
b)
\( {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-7\Rightarrow {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}-7\)
Suy ra dãy số (\(u_n\)) là cấp số cộng có \(u_1=-6; d=-7\)
Công thức truy hồi là \(\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=-6 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}-7 \\ \end{align} \right. \)
Vậy dãy số trên là cấp số cộng.
c)
Tổng của 100 số hạng đầu của dãy số là
\({{S}_{n}}=\dfrac{n\left( 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right)}{2}\\\Rightarrow {{S}_{100}}=\dfrac{100\left[ 2\left( -6 \right)+99.\left( -7 \right) \right]}{2}=-35250 \)