Giải bài 3.14 trang 118 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Vì $0 < u_n < 1$ với mọi n nên $0 < u_{n+1} <1 \Rightarrow 1-u_{n+1}>0.$

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương $u_{n+1}$ và $1-u_{n+1}$ ta có:

$u_{n+1}.(1-u_{n+1})\le \dfrac{1}{4}$ (1)

Mặt khác, từ giả thiết 

$u_{n+1}<1-\dfrac{1}{4u_n}\Rightarrow u_{n+1}.u_n < u_n-\dfrac{1}{4}$

Hay $u_n-u_n.u_{n+1}>\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow u_n(1-u_{n+1})>\dfrac{1}{4}$  (2)

So sánh (1) và (2) ta có: $u_{n+1}(1-u_{n+1}) < u_n(1-u_{n+1})\Rightarrow u_{n+1} < u_n$

Vậy dãy số là dãy giảm