Giải bài 3.13 trang 118 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

a) 

$\begin{align} & {{u}_{1}}=1+\left( 1-1 \right).2=1 \\ & {{u}_{2}}=1+\left( 2-1 \right){{.2}^{2}}=5 \\ & {{u}_{3}}=1+\left( 3-1 \right){{.2}^{3}}=17 \\ & {{u}_{4}}=1+\left( 4-1 \right){{.2}^{4}}=49 \\ & {{u}_{5}}=1+(5-1){{.2}^{5}}=129 \\ \end{align}$

b) Ta có: $u_1=1$

Xét hiệu 

$\begin{align} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1+\left( n+1-1 \right){{.2}^{n+1}}-\left[ 1+\left( n-1 \right){{.2}^{n}} \right] \\ & =n{{.2}^{n+1}}-\left( n-1 \right){{.2}^{n}} \\ & =2n{{.2}^{n}}-\left( n-1 \right){{.2}^{n}}=\left( n+1 \right){{.2}^{n}} \\ \end{align}$

Vậy công thức truy hồi là$\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=1 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+\left( n+1 \right){{.2}^{n}}\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \\ \end{align} \right.$

c) Vì ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left( n+1 \right){{.2}^{n}}>0\,\,\forall \,n$ 

Nên $u_n$ là dãy số tăng.

Ta có: ${{u}_{n}}=1+\left( n-1 \right){{.2}^{n}}\ge 1\,\,\forall n$

Nên $u_n$ là dãy số bị chặn dưới