Giải bài 3.11 trang 117 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số (\(u_n\)) xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & {{u}_{1}}=5 \\ & {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+3n-2\,\,\text{với}\,\,n\ge 1 \\ \end{align} \right.\)
a) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)
b) Chứng minh (\(u_n\)) là dãy số tăng.
a)
Ta có:
\(\begin{align} & {{u}_{1}}=5 \\ & {{u}_{2}}={{u}_{1}}+3.1-2 \\ & {{u}_{3}}={{u}_{2}}+3.2-2 \\ & {{u}_{4}}={{u}_{3}}+3.3-2 \\ & ... \\ & {{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+3\left( n-1 \right)-2 \\ & \\ \end{align} \)
Cộng vế ta được:
\(\begin{align} & {{u}_{n}}=5+3\left[ 1+2+...+\left( n-1 \right) \right]-2\left( n-1 \right) \\ & =5+\frac{3n\left( n-1 \right)}{2}-2\left( n-1 \right) \\ & =5+\frac{\left( n-1 \right)\left( 3n-4 \right)}{2} \\ \end{align} \)
b)
Ta có:
\(\begin{align} & {{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\left[ 5+\frac{n\left( 3n-1 \right)}{2} \right]-\left[ 5+\frac{\left( n-1 \right)\left( 3n-4 \right)}{2} \right] \\ & =\frac{3{{n}^{2}}-n}{2}-\frac{3{{n}^{2}}-7n+4}{2}=\frac{6n-4}{2} \\ \end{align} \)
Vì \(n>1\Rightarrow\dfrac{6n-4}{2}>0\) hay \(u_{n+1}>u_n\)
Vậy dãy số là dãy số tăng