Giải bài 3.10 trang 117 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Trong các dãy số (\(u_n\)) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
a) \(u_n=2n-n^2\)
b) \(u_n=n+\dfrac{1}{n}\)
c) \(\sqrt{n^2-4n+7}\)
d) \(u_n=\dfrac{1}{n^2-6n+11}\)
a) Ta có:
\(\begin{align} & 2n-{{n}^{2}}=-{{n}^{2}}+2n-1+1=-({{n}^{2}}-2n+1)+1 \\ & =-{{\left( n-1 \right)}^{2}}+1\le 1\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ & \Rightarrow {{u}_{n}}\le 1\,\,\forall n\in {{\mathbb{N}}^{*}} \\ \end{align} \)
Vậy dãy số bị chặn trên.
b)
Với \(n \in \mathbb N^*\), ta có:
\(\begin{align} & n+\dfrac{1}{n}\ge 2 \\ & \Rightarrow {{u}_{n}}\ge 2 \\ \end{align}\)
(theo bất đẳng thức Cô – si)
Vậy dãy số bị chặn dưới
c)
Với \(n \in \mathbb N^*\), ta có:
\(\begin{align} & \sqrt{{{n}^{2}}-4n+7}=\sqrt{{{n}^{2}}-4n+4+3}=\sqrt{{{\left( n-2 \right)}^{2}}+3}\ge \sqrt{3} \\ & \Rightarrow {{u}_{n}}\ge \sqrt{3} \\ \end{align} \)
Vậy dãy số bị chặn dưới
d)
Với \(n \in \mathbb N^*\), ta có:
\(\begin{align} & \dfrac{1}{{{n}^{2}}-6n+11}=\dfrac{1}{\left( {{n}^{2}}-6n+9 \right)+2}=\dfrac{1}{{{\left( n-3 \right)}^{2}}+2} \\ & \Rightarrow 0< {{u}_{n}}\le \dfrac{1}{2} \\ \end{align}\)
Vậy dãy số bị chặn