Giải bài 2.60 trang 86 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Giả sử A và B là hai biến cố và \(\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)+P(B)}=a\). Chứng minh rằng: 

a) \(\dfrac{P(A\cup B)}{P(A)+P(B)}=1-a\)

b) \(\dfrac{1}{2}\le a\le 1\)

Lời giải:

Ta có \(P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)\)

nên

 \(\begin{align} & \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)+P(B)}=\dfrac{P(A)+P(B)-P(A\cup B)}{P(A)+P(B)} \\ & =1-\dfrac{P(A\cup B)}{P(A)+P(B)}=1-a \\ \end{align}\) 

b) Vì \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\le P(A)+P(B) \)

nên \(a=\dfrac{P(A\cup B)}{P(A)+P(B)}\le 1 \)

Mặt khác

 \(P(A\cup B)\ge P(A); P(A\cup B)\ge P(B)\\ \Rightarrow 2P\left( A\cup B \right)=P(A\cup B)+P(A\cup B)\ge P(A)+P(B) \)

Vậy \(a=\dfrac{P\left( A\cup B \right)}{P(A)+P(B)}\ge \dfrac{1}{2} \)

Do vậy, ta có: \(\dfrac{1}{2}\le a\le 1\)