Giải bài 2.35 trang 79 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Trong khai triển của \((x+a)^3(x-b)^6\), hệ số của \(x^7\) là \(-9\) và không có số hạng chứa \(x^8\). Tìm a và b.
Ta có:
\(\begin{aligned} & {{\left( x+a \right)}^{3}}={{x}^{3}}+3a{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}x+{{a}^{3}} \\ & {{\left( x-b \right)}^{6}}={{x}^{6}}-6b{{x}^{5}}+15{{b}^{2}}{{x}^{4}}-20{{b}^{3}}{{x}^{3}}+15{{b}^{4}}{{x}^{2}}-6{{b}^{5}}x+{{b}^{6}} \\ \end{aligned} \)
Suy ra:
Hệ số của \({{x}^{7}}\) trong khai triển của \({{\left( x+a \right)}^{3}}{{\left( x-b \right)}^{6}}\) là \(15{{b}^{2}}-18ab+3{{a}^{2}} \)
Hệ số của \(x^8\) trong khai triển là \(-6b+3a \)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & 15{{b}^{2}}-18ab+3{{a}^{2}}=-9 \\ & -6b+3a=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=2b \\ & {{b}^{2}}=1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & a=2 \\ & b=1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & a=-2 \\ & b=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)