Giải bài 1.54 trang 41 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tập giá trị của hàm số \(y=\sin^2x+\sqrt{3}\sin x+2\) là:
A. \(\left[2;5\right]\)
B. \(\left[\dfrac{5}{4};3+\sqrt 3\right]\)
C. \(\left[\dfrac{4}{3};3+\sqrt 3\right]\)
D. \(\left[\dfrac{5}{4};4\right]\)
Hướng dẫn:
Tìm tập giá trị của một hàm số là ta đi xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Từ đó chỉ ra tập giá trị của hàm số đó.
Ta có: \(-1\le \sin x \le 1\)
Đặt \(\sin x=u\,\,(-1\le u\le 1)\)
Xét hàm bậc hai \(f\left( u \right)={{u}^{2}}+\sqrt{3}u+2\) (1) với \((-1\le u\le 1)\)
Ta có: \(f\left( -1 \right)=3-\sqrt{3};\,f\left( 1 \right)=3+\sqrt{3} \)
Do vậy, trên đoạn \([-1;1]\) hàm số đặt cực tiểu tại \(u=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow f\left( \dfrac{-\sqrt{3}}{2} \right)=\dfrac{5}{4}\)
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(3+\sqrt{3}\) tại \(u=1 \)
Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[\dfrac{5}{4};3+\sqrt 3\right]\)
Chọn B.