Giải bài 1.52 trang 40 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Giải phương trình: \(\cot x-1=\dfrac{\cos 2x}{1+\tan x}+\sin^2x-\dfrac{1}{2}\sin 2x\)
Hướng dẫn:
Đặt \(\tan x= t\), rồi biểu diễn \(\cos 2x\) và \(\sin 2x\) theo t.
Đưa phương trình về phương trình ẩn t rồi giải.
(Ngoài ra ta có thể thực hiện biến đổi tương đương và giải phương trình)
Bài giải
Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{aligned} & \sin x\ne 0 \\ & \cos x\ne 0 \\ & \tan x\ne -1 \\ \end{aligned} \right. \)
Đặt \(\tan x = t\) \((t\ne 0;t\ne -1)\)
\(\begin{aligned} & \sin 2x=\dfrac{2t}{1+{{t}^{2}}};\,\,\cos 2x=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \\ & {{\sin }^{2}}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}=\dfrac{1-\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}}{2}=\dfrac{{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \\ \end{aligned}\)
Phương trình trở thành:
\(\begin{aligned} & \dfrac{1}{t}-1=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}.\dfrac{1}{1+t}+\dfrac{{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}-\dfrac{t}{1+{{t}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1-t}{t}=\dfrac{1-t}{1+{{t}^{2}}}+\dfrac{{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}-\dfrac{t}{1+{{t}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1-t}{t}=\dfrac{{{t}^{2}}-2t+1}{1+{{t}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1-t}{t}=\dfrac{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow \left( 1-t \right)\left( \dfrac{1}{t}-\dfrac{1-t}{1+{{t}^{2}}} \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-t \right)\left[ \dfrac{2{{t}^{2}}-t+1}{t\left( 1+{{t}^{2}} \right)} \right]=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=1 \\ & 2{{t}^{2}}-t+1=0\,\,\left( \text{vô nghiệm} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)