Giải bài 1.34 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Cho phương trình \(4{{\cos }^{2}}2x+16\sin x\cos x-7=0\) (1)
Xét các giá trị
\(\begin{matrix} \begin{align} & \left( I \right)\,\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ & \left( II \right)\,\dfrac{5\pi }{12}+k\pi \\ & \left( III \right)\,\dfrac{\pi }{12}+k\pi \\ \end{align} & \left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{matrix} \)
Trong các giá trị trên, giá trị nào là nghiệm của phương trình (1)
| A. Chỉ (I) | B. Chỉ (II) |
| C. Chỉ (III) | D. (II) và (III) |
Cách 1: Giải trực tiếp.
Ta có:
\(\begin{aligned} & 4{{\cos }^{2}}2x+16\sin x\cos x-7=0 \\ & \Leftrightarrow 4\left( 1-{{\sin }^{2}}2x \right)+8\sin 2x-7=0 \\ & \Leftrightarrow 4{{\sin }^{2}}2x-8\sin 2x+3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin 2x=\dfrac{3}{2}\,\,\left( \text{loại} \right) \\ & \sin 2x=\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2x=\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ & 2x=\pi -\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{12}+k\pi \\ & x=\dfrac{5\pi }{12}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
Cách 2: Xét từng giá trị.
+) Với \(x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \)
Ta có:
\(4{{\cos }^{2}}2\left( \dfrac{\pi }{6}+k\pi \right)+8\sin 2\left( \dfrac{\pi }{6}+k\pi \right)-7=4{{\cos }^{2}}\dfrac{\pi }{3}+8\sin \dfrac{\pi }{3}-7\ne 0\)
Nên \(x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi\) không là nghiệm của (1).
+) Với \(x=\dfrac{5\pi }{12}+k\pi \)
Ta có:
\(4{{\cos }^{2}}2\left( \dfrac{5\pi }{12}+k\pi \right)+8\sin 2\left( \dfrac{5\pi }{12}+k\pi \right)-7=4{{\cos }^{2}}\dfrac{5\pi }{6}+8\sin \dfrac{5\pi }{6}-7=0 \)
Nên \(x=\dfrac{5\pi }{12}+k\pi \) là nghiệm của (1)
+) Với \(x=\dfrac{\pi }{12}+k\pi \)
Ta có:
\(4{{\cos }^{2}}2\left( \dfrac{\pi }{12}+k\pi \right)+8\sin 2\left( \dfrac{\pi }{12}+k\pi \right)-7=4{{\cos }^{2}}\dfrac{\pi }{6}+8\sin \dfrac{\pi }{6}-7=0 \)
Nên \(x=\dfrac{\pi }{12}+k\pi \) là nghiệm của (1)
Chọn D.