Giải bài 1.31 trang 38 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn: Đối với phương trình chứa \(\tan x,\cot x,\sin 2x\,\,\text{hoặc}\,\,\cos 2x\), ta có thể đưa về phương trình chứa \(\cos x \) hoặc \(\cos 2x\) ngoài ra có thể đặt ẩn phụ \(t= \tan x\) để đưa về phương trình ẩn t.
Gợi ý:
\(\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x-1=\dfrac{2}{1+{{\tan }^{2}}x}-1=\dfrac{1-{{\tan }^{2}}x}{1+{{\tan }^{2}}x}\\ \sin 2x=2\sin x\cos x=\dfrac{2\sin x}{\cos x}{{\cos }^{2}}x=2\tan x\dfrac{1}{1+{{\tan }^{2}}x}=\dfrac{2\tan x}{1+{{\tan }^{2}}x} \)

Cách 1:  \(t =\tan x\).  (\(t\ne 0\)) Phương trình trở thành:

\(\begin{aligned} & \dfrac{1}{t}-t+4\dfrac{2t}{1+{{t}^{2}}}=2\dfrac{{{t}^{2}}+1}{2t} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1-{{t}^{2}}}{t}+\dfrac{8t}{1+{{t}^{2}}}=\dfrac{{{t}^{2}}+1}{t} \\ & \Rightarrow 1-{{t}^{4}}+8{{t}^{2}}-{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow {{t}^{4}}-3{{t}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{t}^{2}}=0\,\,\left( \text{loại} \right) \\ & {{t}^{2}}=3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}\)

Với \(t^2=3\), ta có:

\(\begin{aligned} & {{\tan }^{2}}x=3 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=\sqrt{3} \\ & \tan x=-\sqrt{3} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)

Cách 2: Biến đổi:

ĐKXĐ: \(\sin 2x\ne 0\Leftrightarrow \cos 2x\ne \pm 1 \)

\(\begin{aligned} & \cot x-\tan x+4\sin 2x=\dfrac{2}{\sin 2x} \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}+4\sin 2x-\dfrac{2}{\sin 2x}=0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{\sin x\cos x}+4\sin 2x-\dfrac{2}{\sin 2x}=0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2\cos 2x}{\sin 2x}+4\sin 2x-\dfrac{2}{\sin 2x}=0 \\ & \Rightarrow 2\cos 2x+4{{\sin }^{2}}2x-2=0 \\ & \Leftrightarrow 2\cos 2x+4\left( 1-{{\cos }^{2}}2x \right)-2=0\\&\Leftrightarrow 4\cos^2x-2\cos 2x-2=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos 2x=1\,\,\text{(loại)} \\ & \cos 2x=\dfrac{-1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 2x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & 2x=-\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{3}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned}\)