Giải bài 1.3 trang 12 - SBT Đại số và Giải tích 11

a) Ta có: 

$\begin{aligned} & 0\le \left| \sin x \right|\le 1 \\ & \Leftrightarrow-2\le -2\left| \sin x \right|\le 0 \\ & \Leftrightarrow 1\le 3-2\left| \sin x \right|\le 3 \\ \end{aligned}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=3-2\left| \sin x \right|$ là $1$

Dấu “=” xảy ra khi 

$\begin{aligned} & \left| \sin x \right|=1 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x=1 \\ & \sin x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned}$

Giá trị lớn nhất của hàm số là $3$.

Dấu “=” xảy ra khi 

$\left| \sin x \right|=0\Leftrightarrow x=k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}$

b) Ta có:

$\cos x+\cos \left( x-\dfrac{\pi }{3} \right)=2\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)\cos \dfrac{\pi }{6}=\sqrt{3}\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)$

Vì $-1\le \cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)\le 1\Leftrightarrow -\sqrt{3}\le y\le \sqrt{3}$

Nên GTNN của hàm số là $-\sqrt{3}$. Dấu “=” xảy ra khi $\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=-1$

GTLN của hàm số là $\sqrt{3}$. Dấu “=” xảy ra khi  $\cos \left( x-\dfrac{\pi }{6} \right)=1$

c) Ta có: $y={{\cos }^{2}}x+2\cos 2x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}+2\cos 2x=\dfrac{1+5\cos 2x}{2}$

Vì $-1\le \cos 2x\le 1\Leftrightarrow -2\le y\le 3$

Nên GTLN của hàm số là $3$. Dấu “=” xảy ra khi $\cos 2x=1$

GTNN của hàm số là $-2$. Dấu “=” xảy ra khi $\cos 2x=-1$

d) Ta có: $y=\sqrt{5-2{{\cos }^{2}}x.{{\sin }^{2}}x}=\sqrt{5-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x}$

Vì 

$\begin{aligned} & 0\le {{\sin }^{2}}2x\le 1\Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\le 5-\dfrac{1}{2}{{\sin }^{2}}2x\le 5 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\le y\le \sqrt{5} \\ \end{aligned}$

Nên GTLN của hàm số là $\sqrt{5}$ . Dấu “=” xảy ra khi ${{\sin }^{2}}2x=0$

GTNN của hàm số là $\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$. Dấu “=” xảy ra khi ${{\sin }^{2}}2x=1$

Ghi nhớ:

$-1\le \sin x\le 1\\ -1\le \cos x\le 1$