Giải bài 1.17 trang 24 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

a) Chuyển vế, sử dụng quan hệ hai góc phụ nhau.

b) Biến đổi tan về sin và cos. Sử dụng cosin của một hiệu.

c) Sử dụng công thức biển đổi tổng thành tích.

c) 

$\begin{aligned} & a)\cos 3x-\sin 2x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos 3x=\sin 2x \\ & \Leftrightarrow \cos 3x=\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-2x \right) \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 3x=\dfrac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ & 3x=-\dfrac{\pi }{2}+2x+k2\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{2k\pi }{5} \\ & x=-\dfrac{\pi }{2}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned}$

b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{aligned} & \cos x\ne 0 \\ & \cos 2x\ne 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & x\ne \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2} \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

$\begin{aligned} & \tan x\tan 2x=-1 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\sin x}{\cos x}.\dfrac{\sin 2x}{\cos 2x}=-1 \\ & \Leftrightarrow \sin x\sin 2x=-\cos x\cos 2x \\ & \Leftrightarrow \cos x\cos 2x+\sin x\sin 2x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos \left( -x \right)=0\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned}$

Vậy phương trình vô nghiệm.

$\begin{aligned} & c)\sin 3x+\sin 5x=0 \\ & \Leftrightarrow 2\sin 4x\cos x=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin 4x=0 \\ & \cos x=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 4x=k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{k\pi }{4} \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned}$

d) Điều kiện xác định $\left\{ \begin{aligned} & \sin 2x\ne 0 \\ & \sin 3x\ne 0 \\ \end{aligned} \right.$
$\begin{aligned} & \cot 2x\cot 3x=1\Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x=\sin 2x\sin 3x \\ & \Leftrightarrow \cos 2x\cos 3x-\sin 2x\sin 3x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos 5x=0 \\ & \Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{k\pi }{5}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned}$

Thử lại điều kiện ta có:
$\begin{aligned} & \sin 2\left( \dfrac{\pi }{10}+\dfrac{k\pi }{5} \right)\ne 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{5}+\dfrac{k2\pi }{5}\ne m\pi \\ & \Leftrightarrow 1+2k\ne 5m \\ & \Leftrightarrow k\ne \dfrac{5m-1}{2}\,\,\left( m\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned}$

$​​​​​​\begin{align} & \sin 3\left( \dfrac{\pi }{10}+\dfrac{k\pi }{5} \right)\ne 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3\pi }{10}+\dfrac{3k\pi }{5}\ne n\pi \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3+6k}{10}\ne n \\ & \Leftrightarrow k\ne \dfrac{10n-3}{6} \\ \end{align}$
(luôn đúng)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $x=\dfrac{\pi }{10}+k\dfrac{\pi }{5}\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right),k\ne \dfrac{5m-1}{2}$