Giải bài 1.13 trang 14 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(y={{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x\) tương ứng là:
A. \(\dfrac{1}{4}\) và \(1\)
B. \(\dfrac{3}{5}\) và \(\dfrac{3}{4} \)
C. \( \dfrac{1}{2}\) và \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
D. \(\dfrac{2}{3}\) và \(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
Cách 1: Thay \(x=0\) thì \(y=1\) lớn hơn \( \dfrac{3}{4}\) lớn hơn \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) và lớn hơn \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) nên loại ba phương án B, C, D.
Cách 2: Với \(x=\dfrac{\pi }{6}\) thì \(\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin x=\dfrac{1}{2}\) nên
\({{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x={{\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{6}}+{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{6}}=\dfrac{27}{64}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{28}{64}<\dfrac{1}{2} \)
Suy ra ba phương án B, C, D loại.
Cách 3: Biến đổi.
\(\begin{align} & {{\cos }^{6}}x+{{\sin }^{6}}x=\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)\left( {{\cos }^{4}}x-{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{4}}x \right) \\ & ={{\left( {{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x \right)}^{2}}-3{{\cos }^{2}}x{{\sin }^{2}}x \\ & =1-3{{\left( \dfrac{\sin 2x}{2} \right)}^{2}} \\ & =1-\dfrac{3}{4}{{\sin }^{2}}2x=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}{{\cos }^{2}}2x \\ \end{align}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{4}\le \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}{{\cos }^{2}}2x\le 1 \)
Vậy
\(\begin{align} & Min\,y=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow \cos 2x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2} \\ & Max\,y=1\Leftrightarrow \cos 2x=1\Leftrightarrow x=k\pi \\ \end{align} \,\,(k\in\mathbb Z)\)