Giải bài 64 trang 33 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \(\left( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right){{\left( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right)}^{2}}=1\) với \(a\ge 0\) và \(a\ne 1\).
b) \(\dfrac{a+b}{{{b}^{2}}}.\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}}=\left| a \right|\) với \(a+b>0\) và \(b\ne 0\).
a) Với \(a\ge 0\) và \(a\ne 1,\) ta có:
\(\begin{aligned} VT&=\left( \dfrac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right){{\left( \dfrac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right)}^{2}} \\ & =\left[ \dfrac{\left( 1-\sqrt{a} \right)\left( 1+\sqrt{a}+a \right)}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right].{{\left[ \dfrac{1-\sqrt{a}}{\left( 1-\sqrt{a} \right)\left( 1+\sqrt{a} \right)} \right]}^{2}} \\ & =\left( 1+2\sqrt{a}+a \right).\dfrac{1}{{{\left( 1+\sqrt{a} \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{{{\left( 1+\sqrt{a} \right)}^{2}}}{{{\left( 1+\sqrt{a} \right)}^{2}}} \\ & =1=VP \\ \end{aligned}\)
Ghi nhớ: Các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
+ Đưa thừa số ra ngoài (vào trong) dấu căn
+ Khử mẫu của biểu thức lấy căn
+ Trục căn thức ở mẫu
b) Với \(a+b>0\) và \(b\ne 0\), ta có:
\( \begin{aligned} VT&=\dfrac{a+b}{{{b}^{2}}}.\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}} \\ & =\dfrac{a+b}{{{b}^{2}}}\dfrac{\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}{\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}}} \\ & =\dfrac{a+b}{{{b}^{2}}}.\dfrac{\left| a \right|{{b}^{2}}}{a+b} \\ & =\left| a \right|=VP \\ \end{aligned} \)
Vậy các đẳng thức được chứng minh.