Giải bài 53 trang 60 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn \(AB\) cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16) . Hãy tìm tỉ số ấy.
Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.
Hình 16
Hướng dẫn:
Giả sử \(M\) là điểm chia và \(AM > MB\). Gọi tỉ số cần tìm là \(x\).
Giả sử \(a\) là độ dài của đoạn \(AB\) và \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\).
Gọi độ dài đoạn \(AM\) là \(x\), (\(0< x < a\))
Khi đó \( MB=x-a\)
Theo đề bài ra ta có:
\( \begin{aligned} & \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MB}{AM}\Leftrightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{a-x}{x} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}=a\left( a-x \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+ax-{{a}^{2}}=0 \\ \end{aligned}\)
Có \(\Delta ={{a}^{2}}-4.1.\left( -{{a}^{2}} \right)=5{{a}^{2}}>0\)
Phương trình có hai nghiệm:
\(\begin{aligned} & {{x}_{1}}=\dfrac{-a+\sqrt{5{{a}^{2}}}}{2}=\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2} \\ & {{x}_{2}}=\dfrac{-a-a\sqrt{5}}{2}\,\,\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \)
Vậy \(AM=\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2} \)
Tỉ số cần tìm là \( \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2}}{a}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \)