Giải bài 40 trang 57 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Hướng dẫn: 

a) Đặt \({{x}^{2}}+x=t \)

b) Đặt \( {{x}^{2}}-4x+2=t\)

c) Rút gọn rồi đặt \( \sqrt{x}=t\,\,\left( t\ge 0 \right) \)

d) Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=t \)

a)

Đặt \({{x}^{2}}+x=t \)

Phương trình trở thành \(3{{t}^{2}}-2t-1=0 \)

Có: \(a+b+c=3+(-2)+(-1)=0 \)

Phương trình có hai nghiệm \(\left\{ \begin{aligned} & {{t}_{1}}=1 \\ & {{t}_{2}}=-\dfrac{1}{3} \\ \end{aligned} \right. \)

Với \(t=1\Rightarrow {{x}^{2}}+x=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-1=0 \)

Có \( \Delta ={{1}^{2}}-4.\left( -1 \right)=5 \)

Phương trình có hai nghiệm \( {{x}_{1}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\,{{x}_{2}}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \)

Với \( t=-\dfrac{1}{3}\Rightarrow {{x}^{2}}+x=-\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3x+1=0 \)

Có \(\Delta ={{3}^{2}}-4.3.1=-3<0 \)

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \({{x}_{1}}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\,{{x}_{2}}=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \)

b) 

Đặt \( {{x}^{2}}-4x+2=t\Rightarrow {{x}^{2}}-4x-4=t-6\)

Phương trình trở thành

\({{t}^{2}}+t-6=0 \)

Có \(\Delta =1-4.\left( -6 \right)=25>0 \)

Phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{-1-\sqrt{25}}{2}=-3 \\ & t=\dfrac{-1+\sqrt{25}}{2}=2 \\ \end{aligned} \right. \)

Với \(t=-3\) ta có: \( {{x}^{2}}-4x+2=-3\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x+5=0 \)

Ta có: \( \Delta '={{\left( -2 \right)}^{2}}-5=-1<0 \)

Phương trình vô nghiệm

Với \(t=2\) ta có: 

\(\begin{aligned} & {{x}^{2}}-4x+2=2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x=0 \\ & \Leftrightarrow x\left( x-4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \( {{x}_{1}}=0;{{x}_{2}}=4 \)

c) Điều kiện xác định \(x\ge 0\)

 \(x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7\Leftrightarrow x-6\sqrt{x}-7=0 \)

Đặt \( \sqrt{x}=t\,\,\left( t\ge 0 \right) \)

Phương trình trở thành \({{t}^{2}}-6t-7=0 \)

Có \(a-b+c=1-\left( -6 \right)+\left( -7 \right)=0 \)

Phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{aligned} & t=-1\,\,\,\left( \text{loại} \right) \\ & t=7 \\ \end{aligned} \right. \)

Với \(t=7\) suy ra \( \sqrt{x}=7\Rightarrow x=49 \)

Vậy phương trình có một nghiệm \(x=49\)

d) Điều kiện xác định \(x\ne 0;x\ne -1 \)

Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=t \)

Phương trình trở thành:

\(\begin{aligned} & t-10.\dfrac{1}{t}=3 \\ & \Leftrightarrow {{t}^{2}}-3t-10=0 \\ \end{aligned} \)

Có \( \Delta ={{\left( -3 \right)}^{2}}+4.10=49>0 \)

Phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{aligned} & t=\dfrac{3+\sqrt{49}}{2}=5 \\ & t=\dfrac{3-\sqrt{49}}{2}=-2 \\ \end{aligned} \right. \)
Với \(t=5\) ta có

\( \begin{aligned} & \dfrac{x}{x+1}=5 \\ & \Rightarrow x=5x+5 \\ & \Leftrightarrow 4x=-5 \\ & \Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{4} \\ \end{aligned} \)

Với \( t=-2 \) ta có:

\(\begin{aligned} & \dfrac{x}{x+1}=-2 \\ & \Leftrightarrow x=-2\left( x+1 \right) \\ & \Leftrightarrow 3x=-2 \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3} \\ \end{aligned} \)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x=-\dfrac{5}{4};x=-\dfrac{2}{3} \)