Giải bài 19 trang 49 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Ta có:

$\begin{aligned} & a{{x}^{2}}+bx+c \\ & =a\left( {{x}^{2}}+\dfrac{b}{a}.x+\dfrac{c}{a} \right) \\ & =a\left( {{a}^{2}}+2.x.\dfrac{b}{2a}+\dfrac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}}+\dfrac{c}{a}-\dfrac{{{b}^{2}}}{4{{a}^{2}}} \right) \\ & =a{{\left( a+\dfrac{b}{2a} \right)}^{2}}+c-\dfrac{{{b}^{2}}}{4a} \\ & =a{{\left( a+\dfrac{b}{2a} \right)}^{2}}-\dfrac{{{b}^{2}}-4ac}{4a} \\ \end{aligned}$

Vì phương trình vô nghiệm nên ${{b}^{2}}-4ac<0$

Lại có $a> 0$ suy ra

$\begin{aligned} & \dfrac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}<0\Rightarrow -\dfrac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}>0 \\ & \Rightarrow a{{\left( a+\dfrac{b}{2a} \right)}^{2}}-\dfrac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}>0\,\,\forall x \\ \end{aligned}$