Giải bài 19 trang 16 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Biết rằng : Đa thức \(P(x)\) chia hết cho đa thức \(x-a \) khi và chỉ khi \(P(a)=0\). Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồ thời chia hết cho \(x+1\) và \(x-3:\)
\(P(x)=mx^3+(m-2)x^2-(3n-5)x-4n\)
Hướng dẫn:
Giải hệ phương trình \( \left\{ \begin{aligned} & P\left( -1 \right)=0 \\ & P\left( 3 \right)=0 \\ \end{aligned} \right.\) để tìm m và n.
Vì \(P\left( x \right)\vdots \left( x+1 \right)\) nên
\(\begin{aligned} & P\left( -1 \right)=0\\&\Leftrightarrow -m+m-2+3n-5-4n=0 \\ & \Leftrightarrow -7-n=0 \\ \end{aligned} \)
Vì \(P\left( x \right)\vdots \left( x-3 \right)\) nên
\(\begin{aligned} & P\left( 3 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow 27m+9\left( m-2 \right)-3\left( 3n-5 \right)-4n=0 \\ & \Leftrightarrow 36m-13n-3=0 \\ \end{aligned} \)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & -7-n=0 \\ & 36m-13n-3=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & n=-7 \\ & 36m-13.\left( -7 \right)-3=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & n=-7 \\ & m=-\dfrac{22}{9} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy \(\left\{ \begin{aligned} & n=-7 \\ & m=-\dfrac{22}{9} \\ \end{aligned} \right.\)