Giải bài 5.2 trang 198 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Với $\Delta x$  là số gia của đối số tại  $x_0$
Ta có

 $\begin{align} & \Delta y=\sqrt[3]{{{x}_{0}}+\Delta x-1}-\sqrt[3]{{{x}_{0}}-1} \\ & =\dfrac{{{x}_{0}}+\Delta x-1-\left( {{x}_{0}}-1 \right)}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}} \\ & =\dfrac{\Delta x}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}} \\ \end{align}$
Suy ra 
$\begin{align} & \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{\Delta x}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}}}{\Delta x} \\ & =\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}} \\ \end{align}$ 
Vậy

 $y'\left( {{x}_{0}} \right)=\lim_{\Delta x\to 0}\limits\,\dfrac{1}{\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{\left( {{x}_{0}}+\Delta x-1 \right)\left( {{x}_{0}}-1 \right)}+\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}}\\=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}}$
Vậy $y'\left( 0 \right)=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{{{\left( 0-1 \right)}^{2}}}}=\dfrac{1}{3}$, không tồn tại $y'(1)$