Giải bài 5.16 trang 202 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11
Tính đạo hàm của hàm số: \(y=(x^2+1)(x^3+1)^2(x^4+1)^3\)
\(\begin{align} & y'=\left( {{x}^{2}}+1 \right)'\left[ {{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}} \right]+\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left[ {{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}} \right]' \\ & =2x\left[ {{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}} \right]+\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left[ {{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}} \right]' \\ \end{align} \)
Ta có:
\(\begin{align} & \left[ {{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}} \right]' \\ & =\left[ {{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}} \right]'{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}+{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}} \right]' \\ & =2.\left( {{x}^{3}}+1 \right)'\left( {{x}^{3}}+1 \right){{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}+{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}.3.\left( {{x}^{4}}+1 \right)'{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{2}} \\ & =6{{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}+1 \right){{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}+12{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}} \\ \end{align}\)
Suy ra \(y'=2x{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}+\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left[ 6{{x}^{2}}\left( {{x}^{3}}+1 \right){{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}}+12{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{3}}+1 \right)}^{2}}{{\left( {{x}^{4}}+1 \right)}^{3}} \right] \)
Ghi nhớ: Công thức đạo hàm của hàm hợp.
\(y'_x=y'_u.u'_x\)
Ví dụ: \(y=(x^2+1)^3\)
Đặt
\(u_x=x^2+1\\\Rightarrow y_x=u^3\)
Ta có \(y'_x=y'_u.u'_x=3u^2.2x=3.2x.(x^2+1)^2=6x(x^2+1)^2\)