Giải bài 62 trang 64 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Gợi ý:

Phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0$ có nghiệm khi $\Delta \ge 0$

a) $7{{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-{{m}^{2}}=0$

Có 

$\begin{aligned} & \Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-7.\left( -{{m}^{2}} \right) \\ & ={{m}^{2}}-2m+1+7{{m}^{2}} \\ & =8{{m}^{2}}-2m+1 \\ & ={{m}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}} \\ \end{aligned}$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta '={{m}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$ luôn đúng với mọi m.

Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Áp dụng hệ thưc Vi ét ta có:

$\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\dfrac{-2\left( m-1 \right)}{7} \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=\dfrac{-{{m}^{2}}}{7} \\ \end{aligned} \right.$

Biểu thức biểu diễn tổng bình phương của hai nghiệm của phương trình là 

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=x_{1}^{2}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

Theo hệ thức Vi –ét ta có:

$\begin{aligned} & x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \\ & ={{\left[ -\dfrac{2\left( m-1 \right)}{7} \right]}^{2}}-2.\left( -\dfrac{{{m}^{2}}}{7} \right) \\ & =\dfrac{4\left( {{m}^{2}}-2m+1 \right)}{49}+\dfrac{2{{m}^{2}}}{7} \\ & =\dfrac{4{{m}^{2}}-8m+4+14{{m}^{2}}}{49} \\ & =\dfrac{18{{m}^{2}}-8m+4}{49} \\ \end{aligned}$