Giải bài 53 trang 60 – SGK Toán lớp 9 tập 2

Hướng dẫn: 

Giả sử $M$ là điểm chia và $AM > MB$. Gọi tỉ số cần tìm là $x$.

Giả sử $a$ là độ dài của đoạn $AB$ và $M$ là điểm chia đoạn $AB$.

Gọi độ dài đoạn $AM$ là $x$, ($0< x < a$)

Khi đó $MB=x-a$

Theo đề bài ra ta có:

$\begin{aligned} & \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MB}{AM}\Leftrightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{a-x}{x} \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}=a\left( a-x \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}+ax-{{a}^{2}}=0 \\ \end{aligned}$

Có $\Delta ={{a}^{2}}-4.1.\left( -{{a}^{2}} \right)=5{{a}^{2}}>0$

Phương trình có hai nghiệm: 

$\begin{aligned} & {{x}_{1}}=\dfrac{-a+\sqrt{5{{a}^{2}}}}{2}=\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2} \\ & {{x}_{2}}=\dfrac{-a-a\sqrt{5}}{2}\,\,\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned}$

Vậy $AM=\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2}$

Tỉ số cần tìm là $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2}}{a}=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}$