Giải bài 4.31 trang 167 - SBT Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng Dẫn:

Hàm số có giới hạn khi $x\to 1$ nếu và chỉ nếu $\lim_{x\to 1^-}\limits f(x)=\lim_{x\to 1^+}\limits f(x)$

Bài giải

Ta có:

$\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,\left( mx+2 \right)=m+2$

$\begin{align} & \lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\left( \dfrac{1}{x-1}-\dfrac{3}{{{x}^{3}}-1} \right) \\ & =\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1-3}{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\dfrac{\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)} \\ & =\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,\dfrac{x+2}{{{x}^{2}}+x+1}=1 \\ \end{align}$

Để hàm số $f(x)$ có giới hạn khi $x\to 1$ thì

$\begin{align} & \lim_{x\to {{1}^{-}}}\limits\,f\left( x \right)=\lim_{x\to {{1}^{+}}}\limits\,f\left( x \right) \\ & \Leftrightarrow m+2=1 \\ & \Leftrightarrow m=-1 \\ \end{align}$

Chọn A.