Giải bài 95 trang 105 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác \(90^o\)) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:
a) \(CD = CE\) ;
b) \(ΔBHD\) cân ;
c) \(CD = CH\).
Hướng dẫn:
a) Chứng minh \(\widehat{HBC}=\widehat{HAC}\)
b) Chứng minh BC là phân giác của góc HBD từ đó suy ra HBD cân.
a)
Ta có:
\(\widehat{HBC}=\widehat{HAC}\) (cùng phụ với \(\widehat{ACB}\) )
Suy ra \( \overset\frown{CD}=\overset\frown{EC}\Rightarrow CD=EC \)
b)
Ta có:
\(\begin{align} & \widehat{EBC}=\dfrac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{EC} \\ & \widehat{DBC}=\dfrac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{DC} \\ \end{align} \)
Mà \(\overset\frown{EC}=\overset\frown{DC}\) (chứng minh câu a)
Suy ra \(\widehat{EBC}=\widehat{DBC} \) hay BC là phân giác của góc B.
Mà BD đồng thời là đường cao của tam giác BHD
Vậy BHD là tam giác cân tại B
c)
Ta có:
BC là đường cao của tam giác cân BHD nên BC đồng thời là trung trực HD.
Suy ra \(CH=CD\).