Giải bài 58 trang 89 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Cho tam giác đều ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa đỉnh A, lấy điểm D sao cho \(DB=DC\) và \(\widehat{DCB}=\dfrac 1 2 \widehat{ACB}\).
a) Chứng minh ABDC là tứ giác nội tiếp.
b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Gợi ý:
a) Chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác bằng \(180^o\)
b) Tính số đo góc ABD, từ đó suy ra tâm đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.
a)
Theo đề bài ta có:
+) ABC là tam giác đều nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=60^o\)
+) \(\widehat{DCB}=\dfrac 1 2 \widehat{ACB}=\dfrac{1}{2}.60^o=30^o\)
Do vậy \(\widehat{ACD}=\widehat{ACB}+\widehat{BCD}=60^o+30^o=90^o\)
Vì \(DB=DC\) nên tam giác DBC cân tại D.
Suy ra \(\widehat{DBC}=30^o\)
Do vậy \(\widehat{ABD}=\widehat{ABC}+\widehat{CBD}=60^o+30^o=90^o\)
Xét tứ giác ABDC có:
\(\widehat{ABD}+\widehat{ACD}=90^o+90^o=180^o\)
Vậy ABDC là tứ giác nội tiếp.
b)
Vì \(\widehat{ABD}=90^o\) nên \(\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay AD là đường kính.
Vậy trung điểm O của AD là tâm đường tròn đi qua ba điểm A, B, D.
Tương tự ta có \(\widehat{ACD}=90^o\) nên \(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn hay AD là đường kính.
Vậy trung điểm O của AD là tâm đường tròn đi qua ba điểm A, C, D.
Vậy tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn đường kính AD tâm O với O là trung điểm của AD.